Question

19．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為菱形，AA₁⊥底面ABCD，E為B₁D的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面ACE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若二面角D-AE-C為60°，AA₁=AB=1，求三棱錐C-AED的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為F，連接EF，則EF∥BB₁，從而EF⊥平面ABCD，由此能證明平面ACE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，以FC，F(xiàn)D，F(xiàn)E為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出三棱錐C-ADE的體積．

解答 證明：（Ⅰ）連接BD，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為F，連接EF，
因?yàn)镋為B₁D中點(diǎn)，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，
所以EF∥BB₁，
因?yàn)锽B₁⊥平面ABCD，
所以EF⊥平面ABCD，
又因?yàn)镋F在平面ACE內(nèi)，
所以平面ACE⊥平面ABCD．（6分）
解：（Ⅱ）由于四邊形ABCD是菱形，所以以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別以FC，F(xiàn)D，F(xiàn)E為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)FA=a，F(xiàn)D=b，有a²+b²=1，
A（-a，0，0），C（a，0，0），D（0，b，0），$E（0，0，\frac{1}{2}）$，
$\overrightarrow{AE}=（a，0，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{AD}=（a，b，0）$，
設(shè)平面ADE的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（b，-a，-2ab）$，
平面ACE的法向量為$\overrightarrow{n_2}=（0，1，0）$，（8分）
由題意知$cos{60°}=|cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞|=\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{1}{2}$，解得$a=b=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．（10分）
所以菱形ABCD為正方形，
所以三棱錐C-ADE的體積$V=\frac{1}{3}×EF×\frac{1}{2}×AD×CD=\frac{1}{12}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題以四棱柱為載體，考查平面與平面垂直，以及二面角、體積等問題，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．