Question

9．如圖，已知四邊形ABCD為正方形，四邊形ABEF，四邊形DCEF為菱形，且∠AFE=$\frac{π}{3}$，M為BC的中點．
（Ⅰ）證明：BC⊥平面MEF；
（Ⅱ）求直線DE與平面MEF所成角的大�。�

Answer 1

分析 （I）由BC⊥AB，AB∥EF可得BC⊥EF，由BE=CE得EM⊥BC，從而得出BC⊥平面MEF；
（II）取DA的中點N，連接MN，NF，則DA⊥平面MEF，故∠DEN為直線DE與平面MEF所成角，設(shè)AB=1，利用勾股定理計算EN，得出tan∠DEN．

解答
證明：（I）∵四邊形ABCD為正方形，四邊形ABEF，四邊形DCEF為菱形，
∴AB∥EF，AB⊥BC，BE=EF=CE，
∴BC⊥EF，BC⊥EM，
又EF?平面MEF，EM?平面MEF，EF∩EM=E，
∴BC⊥平面MEF．
解：（II）取DA的中點N，連接MN，NF，
則MN∥AB∥EF，
∴點N∈平面MEF，
∵BC⊥平面MEF，BC∥AD，
∴AD⊥平面MEF，
∴∠DEN為直線DE與平面MEF所成角．
設(shè)正方形ABCD的邊長AB=1，
∵∠AFE=$\frac{π}{3}$，四邊形ABEF是菱形，
∴AE=EF=AB=1，
又AN=DN=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，
∴EN=$\sqrt{A{E}^{2}-A{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴tan∠DEN=$\frac{DN}{EN}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴∠DEN=$\frac{π}{6}$．
∴直線DE與平面MEF所成角為$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定定理，線面角的計算，屬于中檔題．