Question

已知函數f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|，F（x）=f（x）-g（x）
（1）a=2，x∈[0，3]，求F（x）的值域
（2）a＞2，解關于x的不等式F（x）≥0．

Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）分當x∈[0，1）時、x∈[1，3]時兩種情況，分別利用函數的單調性求得函數的值域，綜合可得結論．
（2）由a＞2，不等式即 x²-1≥a|x-1|，再分①若x≥1、②若x＜1兩種情況，分別去掉絕對值，解一元二次不等式，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）a=2，x∈[0，3]，F（x）=f（x）-g（x）=x²-1-2|x-1|，
當x∈[0，1）時，F（x）=x²+2x-3=（x+1）²-4是增函數，函數的值域為[-3，0）；
x∈[1，3]時，F（x）=x²+2x-3=（x-1）² 是增函數，函數的值域為[0，4]．
綜上，在[0，3]上，F（x）的值域為[-3，4]．
（2）∵a＞2，關于x的不等式F（x）≥0，即 x²-1≥a|x-1|，
①若x≥1，不等式即 x²-ax+a-1≥0，即[x-（a-1）]（x-1）≥0．
由于a-1＞1，解得x≥a-1，或x≤1，
綜合可得x≥a-1．
②若x＜1，不等式即 x²-1≥a（1-x），即  x²+ax-a-1≥0，即[x+（a+1）]（x-1）≥0，
由于a+1＞3，解得x≤-a-1，或x≥1，
綜合可得x≤-a-1．
綜合①②可得，原不等式的解集為：{x|x≤-a-1，或 x≥a-1}．

點評：本題主要考查二次函數的性質，一元二次不等式的解法，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．