Question

12．如圖1，在等腰梯形PDCB中，PB∥DC，PB=3，DC=1，∠DPB=45°，DA⊥PB于點A，將△PAD沿AD折起，構(gòu)成如圖2所示的四棱錐P-ABCD，點M的棱PB上，且PM=$\frac{1}{2}$MB．
（1）求證：PD||平面MAC；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求點A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）在四棱錐P-ABCD中，連接BD交AC于O，連接OM，由△DOC∽△AOB，得$\frac{DO}{OB}=\frac{DC}{AB}$，結(jié)合已知可得$\frac{DO}{OB}=\frac{1}{2}$，又PM=$\frac{1}{2}$MB，即$\frac{PM}{MB}=\frac{1}{2}$，得到PD∥OM，再由線面平行的判定可得PD||平面MAC；
（2）由DA⊥PA，且平面PAD⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，得到PA⊥平面ADC，再證明DC⊥PD，然后利用等積法求點A到平面PBC的距離．

解答 （1）證明：在四棱錐P-ABCD中，連接BD交AC于O，
連接OM，∵DC∥AB，∴△DOC∽△AOB，則$\frac{DO}{OB}=\frac{DC}{AB}$，
∵PB=3，DC=1，∠DPB=45°，DA⊥PB于點A，得AB=2，
∴$\frac{DO}{OB}=\frac{1}{2}$，又PM=$\frac{1}{2}$MB，即$\frac{PM}{MB}=\frac{1}{2}$，
∴PD∥OM，
∵PD?平面MAC，OM?平面MAC，
∴PD||平面MAC；
（2）解：∵DA⊥PA，且平面PAD⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，則PA⊥平面ADC，
又AD⊥DC，平面PAD⊥平面ABCD，
∴DC⊥平面PAB，則DC⊥PD，
${S}_{△ADC}=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，${S}_{△PDC}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
設(shè)點A到平面PBC的距離為d，
由V_P-ADC=V_A-PDC，得$\frac{1}{3}•{S}_{△ADC}•PA=\frac{1}{3}•{S}_{△PDC}•d$，
∴$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1=\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{2}}{2}•d$，解得：d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．