【題目】如圖，在四棱錐中，∥AB，，，，，，，E是的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）通過(guò)證明和，得平面，從而即可得到本題答案；

（2）以M點(diǎn)為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，以過(guò)點(diǎn)M且垂直平面ABCD的方向?yàn)?/span>z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面ABE和平面PBE的法向量，然后套用公式即可得到本題答案.

（1）證明：如圖，設(shè)M是的中點(diǎn)，連接，

在梯形中，由已知易得，

在中，，則，

與是平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，

所以平面，而在平面內(nèi)，

所以；

（2）解：作PH垂直于MC，垂足為H，以M點(diǎn)為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，以過(guò)點(diǎn)M且垂直平面ABCD的方向?yàn)?/span>z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

在中，因?yàn)?/span>,,所以，則，

易知，又，所以，即為直角三角形，

易得，

所以

因?yàn)?/span>，

所以平面的一個(gè)法向量是，

又，，

所以平面的一個(gè)法向量是，

，

由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2020年3月，國(guó)內(nèi)新冠肺炎疫情得到有效控制，人們開(kāi)始走出家門(mén)享受春光.某旅游景點(diǎn)為吸引游客，推出團(tuán)體購(gòu)票優(yōu)惠方案如下表：

購(gòu)票人數(shù)

1~50

51~100

100以上

門(mén)票價(jià)格

13元/人

11元/人

9元/人

兩個(gè)旅游團(tuán)隊(duì)計(jì)劃游覽該景點(diǎn).若分別購(gòu)票，則共需支付門(mén)票費(fèi)1290元；若合并成個(gè)團(tuán)隊(duì)購(gòu)票，則需支付門(mén)票費(fèi)990元，那么這兩個(gè)旅游團(tuán)隊(duì)的人數(shù)之差為（ ）

A.20B.25C.30D.40

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線(xiàn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn).

（Ⅰ）若，求以為直徑的圓被軸所截得的弦長(zhǎng)；

（Ⅱ）分別過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱(chēng)，旨在積極發(fā)展我國(guó)與沿線(xiàn)國(guó)家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系，共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運(yùn)共同體.自2015年以來(lái)，“一帶一路”建設(shè)成果顯著.如圖是2015—2019年，我國(guó)對(duì)“一帶一路”沿線(xiàn)國(guó)家進(jìn)出口情況統(tǒng)計(jì)圖，下列描述錯(cuò)誤的是( )

A.這五年，出口總額之和比進(jìn)口總額之和大

B.這五年，2015年出口額最少

C.這五年，2019年進(jìn)口增速最快

D.這五年，出口增速前四年逐年下降

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了解高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課是否喜愛(ài)是否和性別有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查220名高中學(xué)生，將他們的意見(jiàn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下的列聯(lián)表.

喜愛(ài)數(shù)學(xué)課

不喜愛(ài)數(shù)學(xué)課

合計(jì)

男生

90

20

110

女生

70

40

110

合計(jì)

160

60

220

（1）根據(jù)上面的列聯(lián)表判斷，能否有的把握認(rèn)為“喜愛(ài)數(shù)學(xué)課與性別”有關(guān)；

（2）為培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，從不喜愛(ài)數(shù)學(xué)課的學(xué)生中進(jìn)行進(jìn)一步了解，從上述調(diào)查的不喜愛(ài)數(shù)學(xué)課的人員中按分層抽樣抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽出2名進(jìn)行電話(huà)回訪(fǎng)，求抽到的2人中至少有1名“男生”的概率.

參考公式：.

P（）

0.10

0.05

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】假如你的公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以一次性額外購(gòu)買(mǎi)幾次維修服務(wù)，每次維修服務(wù)費(fèi)用200元，另外實(shí)際維修一次還需向維修人員支付小費(fèi)，小費(fèi)每次50元，在機(jī)器使用期間，如果維修次數(shù)超過(guò)購(gòu)機(jī)時(shí)購(gòu)買(mǎi)的維修服務(wù)次數(shù)，則每維修一次需支付維修服務(wù)費(fèi)用500元，無(wú)需支付小費(fèi)，現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)一次性購(gòu)買(mǎi)幾次維修服務(wù)，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，得下面統(tǒng)計(jì)表：

維修次數(shù)

8

9

10

11

12

頻數(shù)

10

20

30

30

10

記表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，表示1臺(tái)機(jī)器在維修上所需的費(fèi)用（單位：元），表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的維修服務(wù)次數(shù).

（1）若，求與的函數(shù)解析式.

（2）若要求“維修次數(shù)不大于”的頻率不小于0.8，求的值.

（3）假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)10次維修服務(wù)，或每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)11次維修服務(wù)，分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在維修上所需費(fèi)用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)10次還是11次維修服務(wù)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某商店舉行促銷(xiāo)反饋活動(dòng)，顧客購(gòu)物每滿(mǎn)200元，有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)（即滿(mǎn)200元可以抽獎(jiǎng)一次，滿(mǎn)400元可以抽獎(jiǎng)兩次，依次類(lèi)推）.抽獎(jiǎng)的規(guī)則如下：在一個(gè)不透明口袋中裝有編號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個(gè)小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號(hào)一次比一次大（如1，2，5），則獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金40元；若摸得的小球編號(hào)一次比一次�。ㄈ�5，3，1），則獲得二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金20元；其余情況獲得三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金10元.

（1）某人抽獎(jiǎng)一次，求其獲獎(jiǎng)金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;

（2）趙四購(gòu)物恰好滿(mǎn)600元，假設(shè)他不放棄每次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求他獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年國(guó)慶節(jié)假期期間，某商場(chǎng)為掌握假期期間顧客購(gòu)買(mǎi)商品人次，統(tǒng)計(jì)了10月1日7:00-23：00這一時(shí)間段內(nèi)顧客0這一時(shí)間段內(nèi)顧客購(gòu)買(mǎi)商品人次，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)顧客購(gòu)買(mǎi)商品共5000人次顧客購(gòu)買(mǎi)商品時(shí)刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時(shí)間段7:00 11:00，11:00 15:00，15:00 ~19:00，19:00~23:00，依次記作[7，11），[11，15），[15，19），[19，23].

（1）求該天顧客購(gòu)買(mǎi)商品時(shí)刻的中位數(shù)t與平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）現(xiàn)從10月1日在該商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)商品的顧客中隨機(jī)抽取100名顧客，經(jīng)統(tǒng)計(jì)有男顧客 40人，其中10人購(gòu)物時(shí)刻在[19，23](夜晚)，女顧客60人，其中50人購(gòu)物時(shí)刻在[7，19)(白天)，根據(jù)提供的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“男顧客更喜歡在夜晚購(gòu)物”?

附：

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