Question

11．已知$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$是同一平面內(nèi)的三個向量，其中$\overrightarrow a$=（-$\sqrt{2}$，1）．
（1）若|$\overrightarrow c$|=2 且 $\overrightarrow a$∥$\overrightarrow c$，求$\overrightarrow c$的坐標；
（2）若|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{2}$，（$\overrightarrow a$+3$\overrightarrow b$）⊥（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$），求向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$\overrightarrow{c}$=（m，n），運用向量模的公式和向量共線的坐標表示，解方程即可得到所求；
（2）由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，以及向量的平方即為模的平方，化簡整理，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{3}{2}$，再由向量夾角的余弦公式，計算即可得到所求值．

解答 解：（1）設(shè)$\overrightarrow{c}$=（m，n），
若|$\overrightarrow c$|=2 且 $\overrightarrow a$∥$\overrightarrow c$，其中$\overrightarrow a$=（-$\sqrt{2}$，1），
可得m²+n²=4，m=-$\sqrt{2}$n，
解得m=-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，n=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或m=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，n=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
則$\overrightarrow{c}$=（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）或（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
（2）若$\overrightarrow a$=（-$\sqrt{2}$，1），可得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，
又|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{2}$，（$\overrightarrow a$+3$\overrightarrow b$）⊥（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$），
可得（$\overrightarrow a$+3$\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）=$\overrightarrow{a}$²-3$\overrightarrow$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
即有3-3×2+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{3}{2}$，
向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角的余弦值為$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，向量的夾角公式，以及向量共線和垂直的條件，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．