Question

1．（1）求二項(xiàng)式（x+2）¹⁰展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）記（x+2）ⁿ展開(kāi)式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)為a_n，求證：數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增；
（3）給定不小于3的正整數(shù)n，試寫(xiě)出數(shù)列{C${\;}_{n}^{k}$}（k=0，1，2，…，n）的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由（x+2）¹⁰的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tr+1=${C}_{10}^{r}$•2^r•x^r-1，列方程組，$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r-1}{2}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r+1}{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，即可求得r的值，即可求得展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）n為奇數(shù)，a_n=${C}_{n}^{\frac{n+1}{2}}$=${C}_{n}^{\frac{n-1}{2}}$，a_n+1=${C}_{n+1}^{\frac{n+1}{2}}$，a_n+1=${C}_{n+1}^{\frac{n+1}{2}}$=${C}_{n}^{\frac{n+1}{2}}$+${C}_{n}^{\frac{n-1}{2}}$＞a_n，同理可知：n為偶數(shù)，a_n+1=${C}_{n+1}^{\frac{n}{2}}$=${C}_{n}^{\frac{n}{2}-1}$+${C}_{n}^{\frac{n}{2}}$＞a_n，即可證明：數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增；
（3）${C}_{n}^{k+1}$-${C}_{n}^{k}$=$\frac{n!}{（k+1）!（n-k-1）!}$-$\frac{n!}{k!（n-k）!}$=$\frac{n!}{（k+1）!（n-k）!}$（n-1-2k），當(dāng)k＜$\frac{n-1}{2}$時(shí)，${C}_{n}^{k}$＜${C}_{n}^{k+1}$，當(dāng)k＞$\frac{n-1}{2}$時(shí)，${C}_{n}^{k}$＞${C}_{n}^{k+1}$，分別討論當(dāng)n為奇數(shù)及n為偶數(shù)時(shí)，根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)可知，離首末兩端等距離的項(xiàng)相等，且距離越遠(yuǎn)值越大．

解答 解：（1）由（x+2）¹⁰的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tr+1=${C}_{10}^{r}$•2^r•x^r-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r-1}{2}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r+1}{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，解得：$\frac{19}{3}$≤r≤$\frac{22}{4}$，即r=7，
二項(xiàng)式（x+2）¹⁰展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)T₈=${C}_{10}^{7}$x³•2⁷=15360x³；
（2）證明：若n為奇數(shù)，則n+1為偶數(shù)，a_n=${C}_{n}^{\frac{n+1}{2}}$=${C}_{n}^{\frac{n-1}{2}}$，a_n+1=${C}_{n+1}^{\frac{n+1}{2}}$，
∴a_n+1=${C}_{n+1}^{\frac{n+1}{2}}$=${C}_{n}^{\frac{n+1}{2}}$+${C}_{n}^{\frac{n-1}{2}}$＞a_n，
若n為偶數(shù)，則n+1為奇數(shù)，a_n=${C}_{n}^{\frac{n}{2}}$，a_n+1=${C}_{n+1}^{\frac{n}{2}}$=${C}_{n+1}^{\frac{n}{2}+1}$，
∴a_n+1=${C}_{n+1}^{\frac{n}{2}}$=${C}_{n}^{\frac{n}{2}-1}$+${C}_{n}^{\frac{n}{2}}$＞a_n，
綜上可知：數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增；
（3）數(shù)列{C${\;}_{n}^{k}$}（k=0，1，2，…，n）離首末兩端等距離的項(xiàng)相等，且距離越遠(yuǎn)值越大，
證明：${C}_{n}^{k+1}$-${C}_{n}^{k}$=$\frac{n!}{（k+1）!（n-k-1）!}$-$\frac{n!}{k!（n-k）!}$=$\frac{n!}{（k+1）!（n-k）!}$（n-1-2k），
當(dāng)k＜$\frac{n-1}{2}$時(shí)，${C}_{n}^{k}$＜${C}_{n}^{k+1}$，
當(dāng)k＞$\frac{n-1}{2}$時(shí)，${C}_{n}^{k}$＞${C}_{n}^{k+1}$，其中k=0，1，2，…，n-1．
若n為奇數(shù)，${C}_{n}^{0}$＜${C}_{n}^{1}$＜${C}_{n}^{2}$＜…＜${C}_{n}^{\frac{n-3}{2}}$＜${C}_{n}^{\frac{n-1}{2}}$，
${C}_{n}^{\frac{n+1}{2}}$＞${C}_{n}^{\frac{n+3}{2}}$＞…＞${C}_{n}^{n-1}$＞${C}_{n}^{n}$，
 若n為偶數(shù)，${C}_{n}^{0}$＜${C}_{n}^{1}$＜${C}_{n}^{2}$＜…＜${C}_{n}^{\frac{n-2}{2}}$＜${C}_{n}^{\frac{n}{2}}$，
${C}_{n}^{\frac{n}{2}}$＞${C}_{n}^{\frac{n+2}{2}}$＞…＞${C}_{n}^{n-1}$＞${C}_{n}^{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及性質(zhì)，考查分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．