Question

10．函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$，則不等式f（2x-1）＞f（-1）的解集是（-∞，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$，
∴f（-x）=-$\frac{1}{1+（-x）^{2}}$=f（x），即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∵f（x）=-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$，
∴f′（x）=$\frac{2x}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，
∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∵不等式f（2x-1）＞f（-1）等價(jià)為f（|2x-1|）＞f（1），
∴|2x-1|＞1，
∴x＜0或x＞1，
∴不等式f（2x-1）＞f（-1）的解集是（-∞，0）∪（1，+∞），
故答案為（-∞，0）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．