Question

如圖，在梯形PDCB中，BC=PD，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=

2

，DA⊥PB，將△PAD沿AD折起，使得PA⊥AB，得到四棱錐P-ABCD，點M在棱PB上．

（Ⅰ） 證明：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ） 如果AM⊥PB，求二面角C-AM-B的正切值；
（Ⅲ）當(dāng)PD∥平面AMC時，求三棱錐P-ABC與三棱錐M-ABC的體積之比．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由圖1中DA⊥PB，可得折疊后DA⊥AB，DA⊥PA，進(jìn)而DC⊥PA，DC⊥DA，由線面垂直的判定定理得到DC⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ） 以A為坐標(biāo)原點，建立空間坐標(biāo)系，分別求出平面ACM和平面ABM的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角C-AM-B的余弦值，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，可得二面角C-AM-B的正切值；
（Ⅲ）當(dāng)PD∥平面AMC時，根據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)，可得

PM

MB

=

1

2

，即三棱錐P-ABC與三棱錐M-ABC的高之比為

1

2

，即三棱錐P-ABC與三棱錐M-ABC的體積之比為

1

2

．

解答： 證明：（Ⅰ）因為在圖a的等腰梯形PDCB中，DA⊥PB，
所以在四棱錐P-ABCD中，DA⊥AB，DA⊥PA．
又PA⊥AB，且DC∥AB，所以DC⊥PA，DC⊥DA，
而DA?平面PAD，PA?平面PAD，PA∩DA=A，
所以DC⊥平面PAD．
因為DC?平面PCD，
所以平面PAD⊥平面PCD．
（II）以A為坐標(biāo)原點，建立空間坐標(biāo)系，如下圖所示：

∵PB=3DC=3，PD=

2

，故AD=1，AB=2，AP=1，
故PB=

22+12

=

5

，
當(dāng)AM⊥PB時，由射影定理可得PM=

1

5

PB，
∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），
∴

AC

=（1，1，0），

AB

=（0，2，0），

AP

=（0，0，1），
∴

AM

=

4

5

AP

+

1

5

AB

=（0，

2

5

，

4

5

），
設(shè)平面ACM的一個法向量為

m

=（x，y，z），
由

m ⊥ AC m ⊥ AM

得：

m • AC =0 m • AM =0

，
即

x+y=0 2 5 y+ 4 5 z=0

，
令x=2，則

m

=（2，-2，1），
由

AD

=（1，0，0）為平面MAB的法向量，
故二面角C-AM-B的平面角θ滿足：
cosθ=

| AD • m |

| AD |•| m |

=

2

3

，
故sinθ=

1-cos2θ

=

5

3

，
故tanθ=

sinθ

cosθ

=

5

2

；
（III）在梯形ABCD中，連接AC、BD交于點O，連接OM．
∵PD∥平面AMC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=MO，
∴PD∥MO

∴

DO

OB

=

PM

MB

，
∵△AOB∽△DOC，
∴

DO

OB

=

CD

AB

=

1

2

，
即

PM

MB

=

1

2

，
即三棱錐P-ABC與三棱錐M-ABC的高之比為

1

2

，
即三棱錐P-ABC與三棱錐M-ABC的體積之比為

1

2

．

點評：本題考查的知識點是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合體，棱錐的體積，平面與平面垂直的判定定理，難度中檔．