Question

14．（1）證明：x∈[0，1]時(shí)，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}x≤sinx≤x$
（2）若不等式${x^2}+{m^2}x+2（x+2）cosx≤-\frac{1}{2}{x^3}+3mx+4$對x∈[0，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）記F（x）=sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，可求得F′（x）=cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，分x∈（0，$\frac{π}{4}$）與x∈（$\frac{π}{4}$，1）兩類討論，可證得當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，F(xiàn)（x）≥0，即sinx≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$x；記H（x）=sinx-x，同理可證當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，sinx≤x，二者結(jié)合即可證得結(jié)論；
（2）把cosx利用倍角公式化為$si{n}^{2}\frac{x}{2}$，結(jié)合（1）中的結(jié)論把不等式${x^2}+{m^2}x+2（x+2）cosx≤-\frac{1}{2}{x^3}+3mx+4$對x∈[0，1]恒成立轉(zhuǎn)化為（m²-3m+2）x≤0在x∈[0，1]上恒成立．即m²-3m+2≤0恒成立，求解不等式得答案．

解答 （1）證明：記F（x）=sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，則F′（x）=cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{4}$）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上是增函數(shù)，
當(dāng)x∈（$\frac{π}{4}$，1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）在[$\frac{π}{4}$，1]上是減函數(shù)，
又F（0）=0，F(xiàn)（1）＞0，∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，F(xiàn)（x）≥0，即sinx≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
記H（x）=sinx-x，則當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，H′（x）=cosx-1＜0，∴H（x）在[0，1]上是減函數(shù)．
則H（x）≤H（0）=0，即sinx≤x．
綜上，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}x≤sinx≤x$；
（2）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，不等式${x^2}+{m^2}x+2（x+2）cosx≤-\frac{1}{2}{x^3}+3mx+4$恒成立，
即$\frac{1}{2}{x}^{3}+{x}^{2}+（{m}^{2}-3m）x-4+2（x+2）$$•（1-2si{n}^{2}\frac{x}{2}）$≤0恒成立，
也就是$\frac{1}{2}{x}^{3}+{x}^{2}+（{m}^{2}-3m）x+2x-4（x+2）•si{n}^{2}\frac{x}{2}≤0$恒成立，
即$\frac{1}{2}{x}^{3}+{x}^{2}+（{m}^{2}-3m）x+2x-4（x+2）•\frac{1}{8}{x}^{2}$≤0恒成立，
則（m²-3m+2）x≤0在x∈[0，1]上恒成立．
∴m²-3m+2≤0恒成立，解得1≤m≤2．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，2]．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)恒成立問題，靈活利用（1）的結(jié)論是解答的關(guān)鍵，是中檔題．