Question

9．已知命題$p：?x∈R，sinx+cosx≤\sqrt{2}$，命題$q：?{x_0}∈R，{2^{x_0}}＜x_0^2$，下列四個命題：p∨（?q），（?p）∧q，（?p）∨（?q），p∧q中真命題的個數為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 運用兩角和的正弦公式，化簡可得sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），由正弦函數的值域，即可判斷p真；再由x₀=3，即可判斷q真，進而得到￢p，￢q均為假命題．結合復合命題的真值表，即可得到真命題的個數．

解答 解：由sinx+cosx=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
由x∈R，可得sinx+cosx≤$\sqrt{2}$，則p為真命題；
當x₀=3，可得2${\;}^{{x}_{0}}$=2³=8，x₀²=3²=9，8＜9，則q為真命題．
即有￢p為假命題，￢q為假命題．
所以p∨（?q）為真命題，（?p）∧q為假命題，
（?p）∨（?q）為假命題，p∧q為真命題．
故真命題的個數為2，
故選：B．

點評 本題考查命題的真假判斷和應用，主要是復合命題的真假，注意運用真值表，同時考查三角函數的圖象和性質，以及判斷能力和化簡能力，屬于中檔題．