Question

17．已知P是曲線y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$lnx上的動點，Q是直線y=$\frac{3}{4}$x-1上的動點，則PQ的最小值為$\frac{2-2ln2}{5}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切點坐標，欲求P到直線y=$\frac{3}{4}$x-1的距離的最小值即求切點到直線的距離，最后利用點到直線的距離公式進行求解即可．

解答 解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），
由y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$lnx的導數(shù)為y′=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，
令$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2x}$=$\frac{3}{4}$，
可得x=2，
所以切點為（2，1-$\frac{1}{2}$ln2），
它到直線y=$\frac{3}{4}$x-1即3x-4y-4=0的距離d=$\frac{|6-4+2ln2-4|}{\sqrt{9+16}}$=$\frac{2-2ln2}{5}$．
即點P到直線y=$\frac{3}{4}$x-1的距離的最小值為$\frac{2-2ln2}{5}$．
故答案為：$\frac{2-2ln2}{5}$．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，以及點到直線的距離公式，考查運算能力，屬于中檔題．