Question

19．下列函數(shù)稱為雙曲函數(shù)：雙曲正弦：shx=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，雙曲余弦：chx=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，雙曲正切：thx=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$．
（1）對比三角函數(shù)的性質(zhì)，請你找出它們的三個類似性質(zhì)；
（2）求雙曲正弦shx的導數(shù)，并求在點x=0處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）對照雙曲函數(shù)的定義和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得到三個類似性質(zhì)；
（2）求出雙曲正弦的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程．

解答 解：（1）由雙曲正弦：shx=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，雙曲余弦：chx=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，雙曲正切：thx=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$．
可得thx=$\frac{shx}{chx}$，ch²x-sh²x=1，sh2x=2shx•chx；
（2）（shx）′=（$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$）′=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，
可得在點x=0處的切線斜率為$\frac{{e}^{0}+{e}^{0}}{2}$=1，切點為（0，0），
所以切線方程為y=x．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，同時考查雙曲函數(shù)的性質(zhì)，注意運用類比思想，考查運算能力，屬于中檔題．