Question

11．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)A在雙曲線上，且AF₂⊥x軸，若△AF₁F₂的內(nèi)切圓半價(jià)為$（{\sqrt{3}-1}）a$，則其離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}+1$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意可得A在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義可得|AF₁|-|AF₂|=2a，設(shè)Rt△AF₁F₂內(nèi)切圓半徑為r，運(yùn)用等積法和勾股定理，可得r=c-a，結(jié)合條件和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由點(diǎn)A在雙曲線上，且AF₂⊥x軸，
可得A在雙曲線的右支上，
由雙曲線的定義可得|AF₁|-|AF₂|=2a，
設(shè)Rt△AF₁F₂內(nèi)切圓半徑為r，
運(yùn)用面積相等可得S${\;}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|AF₂|•|F₁F₂|
=$\frac{1}{2}$r（|AF₁|+|AF₂|+|F₁F₂|），
由勾股定理可得|AF₂|²+|F₁F₂|²=|AF₁|²，
解得r=$\frac{{|{A{F_2}}|+|{{F_1}{F_2}}|-|{A{F_1}}|}}{2}=\frac{2c-2a}{2}=c-a=（{\sqrt{3}-1}）a$，
$⇒c=\sqrt{3}a$，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和三角形的等積法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．