Question

1．如圖：已知在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是CC₁的中點，F(xiàn)是AC，BD的交點．求A₁F與B₁E所成角的余弦值．

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標系．利用cos＜$\overrightarrow{F{A}_{1}}$，$\overrightarrow{E{B}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{F{A}_{1}}•\overrightarrow{E{B}_{1}}}{|\overrightarrow{F{A}_{1}}|•|\overrightarrow{E{B}_{1}}|}$即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標系．
不妨設(shè)AB=2，則D（0，0，0），A₁（2，0，2），F(xiàn)（1，1，0），
B₁（2，2，2），E（0，2，1）．
$\overrightarrow{F{A}_{1}}$=（1，-1，2），$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（2，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{F{A}_{1}}$，$\overrightarrow{E{B}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{F{A}_{1}}•\overrightarrow{E{B}_{1}}}{|\overrightarrow{F{A}_{1}}|•|\overrightarrow{E{B}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}×\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{15}$，
∴A₁F與B₁E所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{30}}{15}$．

點評 本題考查了建立空間直角坐標系、利用向量夾角公式球異面直線的夾角，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．