Question

10．已知等比數(shù)列{a_n}中的各項都是正數(shù)，且${a_1}，\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差數(shù)列，則$\frac{{{a_9}+{a_{10}}+{a_{13}}}}{{{a_7}+{a_8}+{a_{11}}}}$=（　�。�

• A． $1+\sqrt{2}$
• B． $1-\sqrt{2}$
• C． $3+2\sqrt{2}$
• D． $3-2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列通項公式及等差數(shù)列性質(zhì)，列出方程求出q=1+$\sqrt{2}$，再由$\frac{{{a_9}+{a_{10}}+{a_{13}}}}{{{a_7}+{a_8}+{a_{11}}}}$=q²，能求出結(jié)果．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}中的各項都是正數(shù)，且${a_1}，\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差數(shù)列，
∴$2×（\frac{1}{2}{a}_{1}{q}^{2}）={a}_{1}+2（{a}_{1}q）$，
由q＞0，解得q=1+$\sqrt{2}$，
∴$\frac{{{a_9}+{a_{10}}+{a_{13}}}}{{{a_7}+{a_8}+{a_{11}}}}$=q²=（1+$\sqrt{2}$）²=3+2$\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 本題考查等比數(shù)列的三項和的比值的求法，考查等比數(shù)列通項公式、等差數(shù)列性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．