Question

4．已知函數(shù)f（x）=xe^x-ae^x-1，且f′（1）=e．
（1）求a的值及f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=kx²-2（k＞2）存在兩個不相等的正實數(shù)根x₁，x₂，證明：|x₁-x₂|＞ln（$\frac{4}{e}$）．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^x+xe^x-ae^x-1，由f′（1）=e．解得a=e．可得f′（x）=xe^x．分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，函即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）方程f（x）=kx²-2（k＞2），即（x-1）e^x-（kx²-2）=0，令g（x）=（x-1）e^x-（kx²-2），令g′（x）=0，解得x=0或ln（2k）．k＞2，可得ln（2k）＞1．不妨設(shè)x₁＜x₂．可得：0＜x₁＜1＜ln（2k）＜x₂．即可證明．

解答 （1）解：f′（x）=e^x+xe^x-ae^x-1，
∴f′（1）=e+e-a=e．解得a=e．
∴f′（x）=e^x+xe^x-ee^x-1=xe^x．
∴x＞0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；x＜0時，
f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
即函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0]．
（2）證明：方程f（x）=kx²-2（k＞2），
即（x-1）e^x-（kx²-2）=0，
令g（x）=（x-1）e^x-（kx²-2），
g′（x）=xe^x-2kx=x（e^x-2k），
令g′（x）=0，解得x=0或ln（2k）．
∵k＞2，∴l(xiāng)n（2k）＞1．
g（0）=1，g（1）=2-k＜0，g（ln（2k））＜0．x→+∞時，g（x）→+∞．
因此關(guān)于x的方程f（x）=kx²-2（k＞2）存在兩個不相等的正實數(shù)根x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂．
可得：0＜x₁＜1＜ln（2k）＜x₂．
∴|x₁-x₂|＞ln（2k）-1=$ln\frac{2k}{e}$＞ln（$\frac{4}{e}$）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．