Question

19．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M（0，1），過橢圓左頂點(diǎn)A的直線l與橢圓的另一交點(diǎn)為B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若l與直線x=a交于點(diǎn)P，求$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OP}$的值；
（3）若|AB|=$\frac{4}{3}$，求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合隱含條件列式求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）由（1）求出A的坐標(biāo)，設(shè)B（x₀，y₀），求得P的坐標(biāo)，利用B在橢圓上可求$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OP}$的值；
（3）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)l：$y=k（x+\sqrt{2}）$，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用弦長公式求出直線l的斜率，則直線l的傾斜角可求．

解答 解：（1）∵e=$\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且b=1，解得a²=2．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知，點(diǎn)A（$-\sqrt{2}$，0），設(shè)B（x₀，y₀），則l：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}（x+\sqrt{2}）$，
令x=$\sqrt{2}$，解得$y=\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$，即P（$\sqrt{2}$，$\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$），
∴$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OP}$=$（{x}_{0}，{y}_{0}）•（\sqrt{2}，\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}）$=$\frac{\sqrt{2}（{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}）+2{x}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$，
又∵B（x₀，y₀）在橢圓上，則${{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}=2$，
∴$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OP}$=2；
（3）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不符合題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則l：$y=k（x+\sqrt{2}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2{y}^{2}-2=0}\\{y=k（x+\sqrt{2}）}\end{array}\right.$，可得$（2{k}^{2}+1）{x}^{2}+4\sqrt{2}{k}^{2}x+（4{k}^{2}-2）=0$，
由于△=8＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4\sqrt{2}{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（-\frac{4\sqrt{2}{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}）^{2}-4\frac{4{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}}$=$\frac{4}{3}$，
解得k=±1．
∴直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了弦長公式的應(yīng)用，是中檔題．