Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax，a∈R．
（1）若a=2，求曲線f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[0，a]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^x-a．a(chǎn)=2時(shí)，f′（x）=e^x-2．可得f（0），f′（0）．利用點(diǎn)斜式即可得出切線方程．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，令f′（x）=e^x-a=0．解得x=lna＞0．令g（x）=x-lnx（x＞1），可得函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，因此a＞1時(shí)，lna＜a．再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出極小值即最小值．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a．
a=2時(shí)，f′（x）=e^x-2．f（0）=1，f′（0）=1-2=-1．
∴曲線f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為：y-1=-（x-0），化為：x+y-1=0．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，令f′（x）=e^x-a=0．解得x=lna＞0．
令g（x）=x-lnx（x＞1），則g′（x）=1-$\frac{1}{x}$＞0，
∴函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（1）=1＞0．
∴a＞1時(shí)，lna＜a．
∴當(dāng)x∈[0，lna）時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（lna，a]時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=lna時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，a]上取得最小值，
f（lna）=e^lna-alna=a-alna．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值及其切線方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．