Question

6．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，該雙曲線的右支上有一點A，滿足△OAF是等邊三角形（O為坐標原點），則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 4
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． $\sqrt{3}$-1

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設出雙曲線右焦點的坐標，以及左焦點M的坐標，分析可得|AF|=c，∠AFO=$\frac{π}{3}$，且|MF|=2c，由余弦定理分析計算可得|AM|的值，由雙曲線的定義可得2a=|MA|-|AF|=（$\sqrt{3}$-1）c，即可得a的值，由雙曲線的離心率公式計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，
設F的坐標為（c，0），雙曲線的左焦點為M，則M（-c，0），
若△OAF是等邊三角形，
則|AF|=c，∠AFO=$\frac{π}{3}$，且|MF|=2c，
則由余弦定理：|AM|=$\sqrt{4{c}^{2}+{c}^{2}-2×2c×c×cos\frac{π}{3}}$=$\sqrt{3}$c，
則2a=|MA|-|AF|=（$\sqrt{3}$-1）c，
即a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$c，
其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1；
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質，關鍵是作出圖形，分析a、c的關系．