Question

14．f（x）=x²+2x+m，g（x）=m²x+1，若對任意的x₁∈[-2，1]，都有x₂∈[0，2]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求m范圍．

Answer 1

分析 求出f（x）在[-2，1]上的值域為A，g（x）在[0，2]上的值域為B，令A(yù)⊆B求出m的范圍．

解答 解：設(shè)f（x）在[-2，1]上的值域為A，g（x）在[0，2]上的值域為B，
則A⊆B，
∵f（x）的圖象開口向上，對稱軸為直線x=-1，
∴f（x）在（-2，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，1）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[-2，1]上的最小值為f（-1）=m-1，最大值為f（1）=m+3，
∴A=[m-1，m+3]，
（1）若m=0，則g（x）=1，即B={1}，此時A=[-1，3]，與A⊆B矛盾，
（2）若m≠0，則g（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，
∴g（x）在[0，2]上的最小值為g（0）=1，最大值為g（2）=2m²+1．
∴B=[1，2m²+1]，
∵A⊆B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-1≥1}\\{m+3≤2{m}^{2}+1}\end{array}\right.$，解得m≥2．
綜上，m的范圍是[2，+∞）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的最值，函數(shù)恒成立問題，集合運算，屬于中檔題．