Question

5．已知函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}）$的一系列對應(yīng)值如表：

x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{4π}{3}$	$\frac{11π}{6}$	$\frac{7π}{3}$	$\frac{17π}{6}$
f（x）	-1	1	3	1	-1	1	3

（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)的解析式；
（2 ）根據(jù)（1）的結(jié)果若函數(shù)y=f（kx）（k＞0）的最小正周期為$\frac{2π}{3}$，當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{3}]$時，方程f（kx）=m恰好有兩個不同的解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由表格提供的數(shù)據(jù)知$\left\{\begin{array}{l}{A+B=3}\\{-A+B=-1}\end{array}\right.$，且T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{17π}{6}-\frac{5π}{6}$，由此得到f（x）=2sin（x+φ）+1，再把（$\frac{π}{3}$，1）代入，能求出f（x）．
（2）y=f（kx）=2sin（kx-$\frac{π}{3}$）+1，由函數(shù)y=f（kx）（k＞0）的最小正周期為$\frac{2π}{3}$得k=3，從而y=f（kx）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由表格提供的數(shù)據(jù)知：
$\left\{\begin{array}{l}{A+B=3}\\{-A+B=-1}\end{array}\right.$，且T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{17π}{6}-\frac{5π}{6}$，
解得A=2，B=1，ω=1，
∴f（x）=2sin（x+φ）+1，
把（$\frac{π}{3}$，1）代入，得：2sin（$\frac{π}{3}$+φ）+1=1，解得φ=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+1．
（2）y=f（kx）=2sin（kx-$\frac{π}{3}$）+1，
∵函數(shù)y=f（kx）（k＞0）的最小正周期為$\frac{2π}{3}$，
∴T=$\frac{2π}{k}$=$\frac{2π}{3}$，解得k=3，
∴y=f（kx）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1，
∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴3x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
sin（3x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]
y=f（kx）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1）∈[1-$\sqrt{3}$，3]
當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時，y=$\sqrt{3}$+1，
∴實數(shù)m的取值范圍是[1+$\sqrt{3}$，3）．

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．