Question

8．已知函數(shù) f（x）=sinx（cosx-$\sqrt{3}$sinx）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （I）化 函數(shù) f（x）為正弦型函數(shù)，求出它的最小正周期；
（Ⅱ）根據(jù)x的取值范圍，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）的值域．

解答 解：（I） 函數(shù) f（x）=sinx（cosx-$\sqrt{3}$sinx）
=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=-$\sqrt{3}$×$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π；
（Ⅱ）∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴0≤2x≤π，
∴$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{4π}{3}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域為[-$\sqrt{3}$，1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用問題，是中檔題．