Question

11．已知函數(shù)f（x）=xln（x-1）-ax²+bx（a，b∈R，a，b為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，討論函數(shù)f（x）在區(qū)間$（\frac{1}{e}+1，e+1）$上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)a=1，b=e+2時(shí)，對(duì)任意的x∈（1，+∞）都有$f（x）＜k{e^{\frac{1}{2}x}}$成立，求正實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=-1時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)$f'（x）=ln（x-1）+\frac{x}{x-1}+2x+b$，記g（x）=f'（x）-b，再求解導(dǎo)函數(shù)求出極值點(diǎn)，利用函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，轉(zhuǎn)化為f'（x）=0?g（x）=-b，通過（�。┊�(dāng)b≥ln2-6時(shí)，（ⅱ）當(dāng)$-e-\frac{2}{e}-2＜b＜ln2-6$時(shí)，（ⅲ）當(dāng)$-2e-\frac{1}{e}-4＜b≤-e-\frac{2}{e}-2$時(shí)，（ⅳ）當(dāng)$b≤-2e-\frac{1}{e}-4$時(shí)，分別求解函數(shù)的極值即可．
（Ⅱ）當(dāng)a=1，b=e+2時(shí)，對(duì)任意的x∈（1，+∞）都有$f（x）＜k•{e^{\frac{1}{2}x}}$，即$ln（x-1）-x+e+2＜k•\frac{{{e^{\frac{x}{2}}}}}{x}$，記h（x）=ln（x-1）-x+e+2，$ϕ（x）=k•\frac{{{e^{\frac{x}{2}}}}}{x}$，通過導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的最值，推出結(jié)果即可．

解答 解：（Ⅰ）a=-1時(shí)，$f'（x）=ln（x-1）+\frac{x}{x-1}+2x+b$，記g（x）=f'（x）-b，
則$g'（x）=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{{{{（x-1）}^2}}}+2=\frac{{2x•（x-\frac{3}{2}）}}{{{{（x-1）}^2}}}$，$g'（x）=0⇒x=\frac{3}{2}$，
當(dāng)$x∈（1+\frac{1}{e}，\frac{3}{2}）$時(shí)，g'（x）＜0，$x∈（\frac{3}{2}，e+1）$時(shí)，g'（x）＞0，
所以當(dāng)$x=\frac{3}{2}$時(shí)，g（x）取得極小值6-ln2，又$g（\frac{1}{e}+1）=e+\frac{2}{e}+2$，$g（e+1）=2e+\frac{1}{e}+4$，f'（x）=0?g（x）=-b，所以
（�。┊�(dāng)-b≤6-ln2，即b≥ln2-6時(shí)，f'（x）≥0，函數(shù)f（x）在區(qū)間$（\frac{1}{e}+1，e+1）$上無極值點(diǎn)；
（ⅱ）當(dāng)$6-ln2＜-b＜e+\frac{2}{e}+2$即$-e-\frac{2}{e}-2＜b＜ln2-6$時(shí)，f'（x）=0有兩不同解，
函數(shù)f（x）在區(qū)間$（\frac{1}{e}+1，e+1）$上有兩個(gè)極值點(diǎn)；
（ⅲ）當(dāng)$e+\frac{2}{e}+2≤-b＜2e+\frac{1}{e}+4$即$-2e-\frac{1}{e}-4＜b≤-e-\frac{2}{e}-2$時(shí)，f'（x）=0有一解，
函數(shù)f（x）在區(qū)間$（\frac{1}{e}+1，e+1）$上有一個(gè)極值點(diǎn)；
（ⅳ）當(dāng)$-b≥2e+\frac{1}{e}+4$即$b≤-2e-\frac{1}{e}-4$時(shí)，f'（x）≤0，函數(shù)f（x）在區(qū)間$（\frac{1}{e}+1，e+1）$上
無極值點(diǎn)；
（Ⅱ）當(dāng)a=1，b=e+2時(shí)，對(duì)任意的x∈（1，+∞）都有$f（x）＜k•{e^{\frac{1}{2}x}}$，
即$xln（x-1）-{x^2}+（e+2）x＜k{e^{\frac{x}{2}}}$，即$ln（x-1）-x+e+2＜k•\frac{{{e^{\frac{x}{2}}}}}{x}$
記h（x）=ln（x-1）-x+e+2，$ϕ（x）=k•\frac{{{e^{\frac{x}{2}}}}}{x}$，
由$h'（x）=\frac{1}{x-1}-1=\frac{2-x}{x-1}$，當(dāng)1＜x＜2時(shí)h'（x）＞0，x＞2時(shí)，h'（x）＜0，
所以當(dāng)x=2時(shí)，h（x）取得最大值h（2）=e，
又$ϕ'（x）=k\frac{{\frac{1}{2}{e^{\frac{x}{2}}}x-{e^{\frac{x}{2}}}}}{x^2}=\frac{{\frac{k}{2}{e^{\frac{x}{2}}}（x-2）}}{x^2}$，當(dāng)1＜x＜2時(shí)ϕ'（x）＜0，x＞2時(shí)，ϕ'（x）＞0，
所以當(dāng)x=2時(shí)，ϕ（x）取得最小值$\frac{ke}{2}$，所以只需要$e＜\frac{ke}{2}$⇒k＞2，即正實(shí)數(shù)k的取值范圍是（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性已經(jīng)函數(shù)的極值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及分類討論思想的應(yīng)用．