Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和是S_n，a₁=1，2S_n=a_n+1（n∈N₊），則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2{•3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由2S_n=a_n+1⇒2S_n-1=a_n（n≥2），兩式相減可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=3（n≥2），從而可得數(shù)列{a_n}從第二項起，是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，可求得其通項公式．

解答 解：∵a₁=1，2S_n=a_n+1（n∈N₊）①，
∴當(dāng)n≥2時，2S_n-1=a_n，②，
①-②得：2a_n=a_n+1-a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=3（n≥2），
又a₂=2S₁=2a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}從第二項起，是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，即a_n=2•3^n-2（n≥2），
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2{•3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2{•3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，求得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=3（n≥2）是關(guān)鍵，容易忽略條件n≥2，是易錯點，考查推理與分析、運算能力，屬于中檔題．