Question

3．已知橢圓兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，|PF₁|，|F₁F₂|，|F₂P|成等差數(shù)列，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 由題意可知橢圓是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且知c=1，利用等差中項(xiàng)的概念求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求．

解答 解：由橢圓兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），且c=1，
由|PF₁|，|F₁F₂|，|F₂P|成等差數(shù)列，可得|PF₁|+|F₂P|=2|F₁F₂|=4c=4，
即2a=4，a=2．
∴b²=a²-c²=3．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查橢圓定義及等差中項(xiàng)的概念，是中檔題．