Question

6．已知等比數列{a_n}中，a_n+1＞a_n，且滿足：a₂+a₄=20，a₃=8．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_nlog${\;}_{{\frac{1}{2}}_{\;}}$a_n，數列{b_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等比數列通項公式列出方程組，求出首項和公比，由此能求出數列{a_n}的通項公式；
（2）由b_n=a_nlog${\;}_{{\frac{1}{2}}_{\;}}$a_n=-n•2ⁿ，利用錯位相減法能求出數列{b_n}的前n項和．

解答 解：（1）設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q（q＞1）
由已知條件，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=20}\\{{a}_{1}{q}^{2}=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{q=2}\\{{a}_{1}=2}\end{array}\right.$
∴${a}_{n}={2}^{n}$
（2）b_n=a_nlog${\;}_{{\frac{1}{2}}_{\;}}$a_n=-n•2ⁿ，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=-（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ）①
則2S_n=-（1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹）②
②-①，得S_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
即數列{b_n}的前項和S_n=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹．

點評 本題主要考查數列的通項公式的求法、前n項和公式的求法，考查等差數列、等比數列等基礎知識，屬于中檔題．