Question

15．已知函數(shù)f（x）=x³$+\frac{3}{2}$（1-a）x²-3ax+1，a＞0．
（1）試討論f（x）（x≥0）的單調性；
（2）證明：對于正數(shù)a，存在正數(shù)p，使得當x∈[0，p]時，有-1≤f（x）≤1；
（3）設（1）中的p的最大值為g（a），求g（a）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出導函數(shù)，判斷導函數(shù)的符號，即可求解f（x）在[0，a]上單調遞減，在[a，+∞）上單調遞增．
（2）求出f（a）的表達式，通過當f（a）≥-1時，取p=a．此時，當x∈[0，p]時，有-1≤f（x）≤1成立．
當f（a）＜-1時，推出f（0）+1＞0，f（a）+1＜0，即可證明對于正數(shù)a，存在正數(shù)p，使得當x∈[0，p]時，有-1≤f（x）≤1．
（3）f（x）在[0，+∞）上的最小值為f（a）．通過當0＜a≤1時，求解函數(shù)的最值，當a＞1時，說明g（a）≤1．即可得到結果g（a）的最大值為$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）由于f'（x）=3x²+3（1-a）x-3a=3（x+1）（x-a），且a＞0，
故f（x）在[0，a]上單調遞減，在[a，+∞）上單調遞增．
（2）證明：因為$f（0）=1，f（a）=-\frac{1}{2}{a^3}-\frac{3}{2}{a^2}+1=\frac{1}{2}（1-a）{（a+2）^2}-1$．
當f（a）≥-1時，取p=a．此時，當x∈[0，p]時，有-1≤f（x）≤1成立．
當f（a）＜-1時，由于f（0）+1=2＞0，f（a）+1＜0，
故存在p∈（0，a）使得f（p）+1=0．
此時，當x∈[0，p]時，有-1≤f（x）≤1成立．
綜上，對于正數(shù)a，存在正數(shù)p，使得當x∈[0，p]時，有-1≤f（x）≤1．
（3）由（2）知f（x）在[0，+∞）上的最小值為f（a）．
當0＜a≤1時，f（a）≥-1，則g（a）是方程f（p）=1滿足p＞a的實根，
即 2p²+3（1-a）p-6a=0滿足p＞a的實根，
所以$g（a）=\frac{{3（a-1）+\sqrt{9{a^2}+30a+9}}}{4}$．
又g（a）在（0，1]上單調遞增，故$g{（a）_{max}}=g（1）=\sqrt{3}$．
當a＞1時，f（a）＜-1，由于$f（0）=1，f（1）=\frac{9}{2}（1-a）-1＜-1$，
故[0，p]?[0，1]．此時，g（a）≤1．
綜上所述，g（a）的最大值為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調性，考查分析問題解決問題的能力．