Question

15．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ+4sinθ，P點(diǎn)極坐標(biāo)為$（3，\frac{π}{2}）$，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，傾斜角為$\frac{π}{3}$．
（1）寫(xiě)出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方程，即可寫(xiě)出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程；
（2）將參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，及參數(shù)的幾何意義，即可得到$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$的值．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2x-4y=0，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-1）²+（y-2）²=5，P$（3，\frac{π}{2}）$化為直角坐標(biāo)為P（0，3），
直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{3}}\\{y=3+tsin\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．…（5分）
（2）將l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，得${（\frac{1}{2}t-1）^2}+{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+1）^2}=5$，
整理得：${t^2}+（\sqrt{3}-1）t-3=0$，
顯然有△＞0，則t₁+t₂=-$\sqrt{3}$+1，t₁t₂=-3，
|PA|+|PB|=$\sqrt{16-2\sqrt{3}}$，
所以$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$=$\frac{\sqrt{16-2\sqrt{3}}}{3}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的參數(shù)方程和應(yīng)用，考查韋達(dá)定理和運(yùn)用，考查基本的運(yùn)算能力，屬于中檔題．