Question

7．在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱之為塹堵，如圖，在塹堵ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，AA₁＞AB，塹堵的頂點C₁到直線A₁C的距離為m，C₁到平面A₁BC的距離為n，則$\frac{m}{n}$的取值范圍是（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 設(shè)AB=1，AA₁=a，利用等面積法和等體積法求出m，n關(guān)于a的不等式，根據(jù)a的范圍得出$\frac{m}{n}$的值．

解答 解：設(shè)AB=BC=1，AA₁=a（a＞1），
則AC=$\sqrt{2}$，A₁C=$\sqrt{{a}^{2}+2}$，A₁B=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，且B到平面ACC₁A₁的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴m=$\frac{{A}_{1}{C}_{1}•C{C}_{1}}{{A}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{{a}^{2}+2}}$，S${\;}_{△{A}_{1}BC}$=$\frac{1}{2}$×A₁B×BC=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+1}}{2}$，
∴V${\;}_{{C}_{1}-{A}_{1}BC}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△{A}_{1}BC}$•n=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+1}}{6}$n，
又V${\;}_{{C}_{1}-{A}_{1}BC}$=V${\;}_{B-{A}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{C}_{1}C}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×a×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{a}{6}$，
∴n=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{\sqrt{2{a}^{2}+2}}{\sqrt{{a}^{2}+2}}$=$\sqrt{2-\frac{2}{{a}^{2}+2}}$，
∵a＞1，∴$\frac{4}{3}$＜2-$\frac{2}{{a}^{2}+2}$＜2，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜$\frac{m}{n}$$＜\sqrt{2}$．
故答案為：$（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，\sqrt{2}）$．

點評 本題考查了空間距離的計算，棱錐的體積公式，屬于中檔題．