Question

7．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}（0≤x≤1）}\\{\sqrt{2x-{x}^{2}}（1＜x≤2）}\end{array}\right.$．
（1）求f（x）的最大值；
（2）求f（x）與x軸圍成的面積．

Answer 1

分析 （1）分別求出x∈[0，1]和x∈（1，2]時f（x）的最大值即可得出結論；
（2）根據定積分的定義計算f（x）與x軸圍成的面積即可．

解答 解：（1）當x∈[0，1]時，f（x）=$\sqrt{x}$是單調增函數，
此時當x=1時，f（x）取得最大值1；
當x∈（1，2]時，f（x）=$\sqrt{2x{-x}^{2}}$=$\sqrt{1{-（x-1）}^{2}}$＜1；
綜上，f（x）的最大值是1；
（2）f（x）與x軸圍成的面積為
S=${∫}_{0}^{2}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{x}$dx+${∫}_{1}^{2}$$\sqrt{2x{-x}^{2}}$dx
=$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$${|}_{0}^{1}$+$\frac{1}{4}$π×1²
=$\frac{2}{3}$+$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查了分段函數與定積分的計算問題，是中檔題．