Question

12．三角形ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知sin²B+cos²A-cos²C=$\sqrt{3}$sinBsinC，且三角形ABC外接圓面積為4π，則a=2．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理化簡可得b²+c²-a²=$\sqrt{3}bc$，利用余弦定理可求cosA，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA，設(shè)外接圓半徑為R，由圓的面積公式可求R，根據(jù)正弦定理即可求得a的值．

解答 解：∵sin²B+cos²A-cos²C=$\sqrt{3}$sinBsinC，可得：sin²B+1-sin²A-1+sin²C=$\sqrt{3}$sinBsinC，
可得：sin²B-sin²A+sin²C=$\sqrt{3}$sinBsinC，
∴由正弦定理可得：b²+c²-a²=$\sqrt{3}bc$，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由A為三角形年紀，可得sinA=$\frac{1}{2}$，
∵三角形ABC外接圓面積為4π，設(shè)外接圓半徑為R，則4π=πR²，可得R=2，
∴由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=2R$，可得：$\frac{a}{\frac{1}{2}}=4$，解得a=2．
故答案為：2．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，余弦定理，圓的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．