Question

15．設S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項和，a₂=3，S₅=25，若{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為$\frac{1008}{2017}$，則n的值為（　�。�

• A． 504
• B． 1008
• C． 1009
• D． 2017

Answer 1

分析 先求出等差數(shù)列{a_n}的通項公式，再根據(jù)裂項求和即可求出n的值．

解答 解：設等差數(shù)列的公差為d，
則由題意可得a₂=a₁+d=3，S₅=5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=25，
聯(lián)立解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
∴$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1008}{2017}$，
∴1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2016}{2017}$，
∴2n+1=2017，
∴n=1008，
故選：B

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，以及裂項求和，屬于中檔題．