Question

17．已知函數f（x）=e^x（x²+ax+a）（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若a=-1，判斷f（x）是否存在最小值，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據導數和函數的單調性的關系即可判斷，需要分類討論，
（Ⅱ）根據導數和函數的最值得關系即可判斷．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為R．f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+2a]=e^x（x+2）（x+a）
令f'（x）=0，得x₁=-2，x₂=-a
當-a=-2，即a=2時，f'（x）≥0恒成立，f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，+∞），無單調減區(qū)間
當-a＜-2，即a＞2時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-a）	-a	（-a，-2）	-2	（-2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，-a），（-2，+∞），單調減區(qū)間為（-a，-2）
當-a＞-2，即a＜2時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-a）	-a	（-a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，-2），（-a，+∞），單調減區(qū)間為（-2，-a）
（Ⅱ）f（x）有最小值，
∵a=-1，
∴f（x）=e^x（x²-x-1）．
令f（x）=0得$x=\frac{{1±\sqrt{5}}}{2}$．
所以f（x）有兩個零點．
當$x＞\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$或$x＜\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}$時，f（x）＞0，
當$\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}＜x＜\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$時，f（x）＜0，
由（Ⅰ）可知，f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上單調增，在（-2，1）上單調減，
∴f（x）有最小值f（1）．

點評 本題考查利導數和函數的單調性和最值得關系，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想和等價轉化思想及導數性質的合理運用．