17.已知函數(shù)f(x)=ex(x2+ax+a)(a∈R)
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若a=-1,判斷f(x)是否存在最小值,并說(shuō)明理由.

分析 (Ⅰ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可判斷,需要分類(lèi)討論,
(Ⅱ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可判斷.

解答 解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)镽.f'(x)=ex[x2+(a+2)x+2a]=ex(x+2)(x+a)
令f'(x)=0,得x1=-2,x2=-a
當(dāng)-a=-2,即a=2時(shí),f'(x)≥0恒成立,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞),無(wú)單調(diào)減區(qū)間
當(dāng)-a<-2,即a>2時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:

x(-∞,-a)-a(-a,-2)-2(-2,+∞)
f'(x)+0-0+
f(x)極大值極小值
所以,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-a),(-2,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-a,-2)
當(dāng)-a>-2,即a<2時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:
x(-∞,-2)-2(-2,-a)-a(-a,+∞)
f'(x)+0-0+
f(x)極大值極小值
所以,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-2),(-a,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-2,-a)
(Ⅱ)f(x)有最小值,
∵a=-1,
∴f(x)=ex(x2-x-1).
令f(x)=0得$x=\frac{{1±\sqrt{5}}}{2}$.
所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)$x>\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$或$x<\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}$時(shí),f(x)>0,
當(dāng)$\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}<x<\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$時(shí),f(x)<0,
由(Ⅰ)可知,f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)上單調(diào)增,在(-2,1)上單調(diào)減,
∴f(x)有最小值f(1).

點(diǎn)評(píng) 本題考查利導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值得關(guān)系,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意分類(lèi)討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.

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