Question

5．已知函數(shù)$f（x）=4sinxcos（{x-\frac{π}{3}}）-\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、零點；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間$[{\frac{π}{24}，\frac{3π}{4}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，令f（x）=0，解得x的值即為零點．
（2）x∈$[{\frac{π}{24}，\frac{3π}{4}}]$上時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即得出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=4sinxcos（{x-\frac{π}{3}}）-\sqrt{3}$．
化簡可得：f（x）=4sinx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）-$\sqrt{3}$
=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$sin²x-$\sqrt{3}$
=sin2x+$2\sqrt{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x）-\sqrt{3}$
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）
（Ⅰ）∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
令$f（x）=2sin（{2x-\frac{π}{3}}）=0$，
即$2x-\frac{π}{3}=kπ，k∈{Z}$
∴函數(shù)f（x）的零點是$x=\frac{π}{6}+k\frac{π}{2}，k∈{Z}$．
（Ⅱ）∵$\frac{π}{24}≤x≤\frac{3π}{4}$，
∴$-\frac{π}{4}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{7π}{6}$．
∴當$2x-\frac{π}{3}=-\frac{π}{4}$，即$x=\frac{π}{24}$時，函數(shù)f（x）的最小值為$-\sqrt{2}$；
當$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{5π}{12}$時，函數(shù)f（x）的最大值為2．
∴f（x）在區(qū)間$[{\frac{π}{24}，\frac{3π}{4}}]$上的最大值為2，最小值$-\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．