分析 (1)以A為原點,在平面ABC中過A作AC的垂線為x軸,AC為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能證明EF⊥A1C.
(2)求出平面AEF的法向量和平面ACF的法向量,利用向量法能求出二面角C-AF-E的平面角的余弦值.
解答 (1)證明:以A為原點,在平面ABC中過A作AC的垂線為x軸,AC為y軸,AA1為z軸,
建立空間直角坐標系,
B(2$\sqrt{3}$,2,0),C(0,4,0),E($\sqrt{3}$,3,0),F(xiàn)(0,4,1),A1(0,0,4),
$\overrightarrow{EF}$=(-$\sqrt{3}$,1,1),$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=(0,4,-4),
$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=0+4-4=0,
∴EF⊥A1C.
(2)解:$\overrightarrow{AE}$=($\sqrt{3},3,0$),$\overrightarrow{AF}$=(0,4,1),
設平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{3}x+3y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=4y+z=0}\end{array}\right.$,取x=$\sqrt{3}$,得$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3},-1,4$),
平面ACF的法向量$\overrightarrow{m}$=(1,0,0),
設二面角C-AF-E的平面角為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+3+16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$.
∴二面角C-AF-E的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{10}$.
點評 本題考查異面直線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
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A. | $\frac{2}{3}$ | B. | 1 | C. | $\frac{4}{3}$ | D. | 2 |
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A. | $3+\sqrt{3}$ | B. | $3+\sqrt{6}$ | C. | $1+2\sqrt{3}$ | D. | $1+2\sqrt{6}$ |
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A. | $\frac{5}{4}$ | B. | $\frac{4}{5}$ | C. | $\frac{6}{5}$ | D. | $\frac{5}{6}$ |
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