Question

7．（用空間向量坐標表示解答）已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長都是4，E是BC的中點，F(xiàn)在CC₁上，且CF=1．
（1）求證：EF⊥A₁C；
（2）求二面角C-AF-E的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，在平面ABC中過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明EF⊥A₁C．
（2）求出平面AEF的法向量和平面ACF的法向量，利用向量法能求出二面角C-AF-E的平面角的余弦值．

解答 （1）證明：以A為原點，在平面ABC中過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
B（2$\sqrt{3}$，2，0），C（0，4，0），E（$\sqrt{3}$，3，0），F(xiàn)（0，4，1），A₁（0，0，4），
$\overrightarrow{EF}$=（-$\sqrt{3}$，1，1），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，4，-4），
$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=0+4-4=0，
∴EF⊥A₁C．
（2）解：$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}，3，0$），$\overrightarrow{AF}$=（0，4，1），
設平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{3}x+3y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=4y+z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，-1，4$），
平面ACF的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設二面角C-AF-E的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+3+16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$．
∴二面角C-AF-E的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{10}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．