Question

19．已知四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，且BC=CD，其對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)M．過點(diǎn)B作⊙O的切線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
（1）求證：AB•MD=AD•BM；
（2）若CP•MD=CB•BM，求證：AB=BC．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性質(zhì)、角分線定理，即可證明結(jié)論；
（2）證明∠PBC=∠BCA，利用∠PBC=∠BAC，證明∠BAC=∠BCA，即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）由BC=CD可知，∠BAC=∠DAC，
由角分線定理可知，$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BM}{MD}$，即AB•MD=AD•BM得證．-------（4分）
（2）由CP•MD=CB•BM，
可知$\frac{BM}{MD}$=$\frac{CP}{CB}$，又因?yàn)锽C=CD，所以$\frac{BM}{MD}$=$\frac{PC}{CD}$
所以PB∥AC．所以∠PBC=∠BCA
又因?yàn)椤螾BC=∠BAC
所以∠BAC=∠BCA
所以AB=BC-----------------------------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰三角形的性質(zhì)、角分線定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．