Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax²+xlnx-1，a∈R，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，5]上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=-e時(shí)，試判斷方程|f（x）+1|=lnx+$\frac{3}{2}$x是否有實(shí)數(shù)解，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，5]上為單調(diào)函數(shù)，則f′（x）=2ax+lnx+1≥0恒成立，或f′（x）=2ax+lnx+1≤0恒成立，分類討論，分離參數(shù)求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=-e時(shí)，分別判斷左右的最值，即可判斷方程|f（x）+1|=lnx+$\frac{3}{2}$x是否有實(shí)數(shù)解．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，因?yàn)閒（x）=xlnx-1，所以f′（x）=lnx+1．
令f′（x）=lnx+1=0，解得x=$\frac{1}{e}$，…（2分）
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，+∞），f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以當(dāng)x=$\frac{1}{e}$時(shí)，函數(shù)f（x）有極小值，即f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$-1．…（3分）
函數(shù)f（x）無(wú)極大值．   …（4分）
（2）若函數(shù)在區(qū)間[1，5]上是單調(diào)函數(shù)，
則f′（x）=2ax+lnx+1≥0恒成立，或f′（x）=2ax+lnx+1≤0恒成立，…（5分）
當(dāng)f′（x）=2ax+lnx+1≥0恒成立時(shí)，
即2a≥-$\frac{lnx+1}{x}$恒成立，
令h（x）=-$\frac{lnx+1}{x}$，h′（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈[1，5]，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，
即a≥-$\frac{ln5+1}{10}$，…（7分）
當(dāng)f′（x）=2ax+lnx+1≤0恒成立時(shí)，即2a≤-$\frac{lnx+1}{x}$，
由上可知2a≤f（1）=-1，即a≤-$\frac{1}{2}$，…（9分）
綜上，a≤-$\frac{1}{2}$或a≥-$\frac{ln5+1}{10}$                          …（10分）
（3）因?yàn)閒（x）=-ex²+xlnx-1，
所以|f（x）+1|=lnx+$\frac{3}{2}$x，即|-ex+lnx|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$         …（11分）
令p（x）=-ex+lnx，p′（x）=-e+$\frac{1}{x}$，
令p′（x）=0，即x=$\frac{1}{e}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時(shí)，p′（x）＞0，函數(shù)p（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時(shí)，p′（x）＜0，函數(shù)p（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，
所以當(dāng)x=$\frac{1}{e}$時(shí)，p（x）取最大值，p（$\frac{1}{e}$）=-1-1=-2＜0，所以|p（x）|＞2…（13分）
令q（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$，q′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令q′（x）=0，即x=e，
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，q′（x）＞0，函數(shù)q（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，q′（x）＜0，函數(shù)q（x）單調(diào)遞減函數(shù)，
所以當(dāng)x=e時(shí)，q（x）取最大值，q（e）=$\frac{1}{e}$+$\frac{3}{2}$＜2，…（15分）
所以方程|f（x）+1|=lnx+$\frac{3}{2}$x無(wú)實(shí)根． …（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性極值，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度大．