Question

13．如圖所示，在四棱錐E-ABCD中，ABCD是邊長為2的正方形，且AE⊥平面CDE，且∠DAE=30°
（1）求證：平面ABE⊥平面ADE
（2）求點A到平面BDE的距離．

Answer 1

分析 （1）證明：AB⊥平面ADE，利用面面垂直的判定定理，證明平面ABE⊥平面ADE
（2）利用等體積方法，求點A到平面BDE的距離．；

解答 （1）證明：∵ABCD是正方形，∴AD⊥CD，
∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，
∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE，
∵CD∥AB，
∴AB⊥平面ADE，
∵AB?平面ADE，∴平面ABE⊥平面ADE．
（2）解：∵AE⊥平面CDE，DE?平面CDE，∴AE⊥DE，
∵∠DAE=30°，AD=2，∴DE=1，AE=$\sqrt{3}$，
∵AB⊥平面ADE，
∴AB⊥AE，AB⊥DE，
∴BE=$\sqrt{7}$，BD=2$\sqrt{2}$，
∴DE²+BE²=BD²，
∴BE⊥DE，
設(shè)點A到平面BDE的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$×AE×DE×AB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$BE×DE×h，
∴h=$\frac{\sqrt{3}×2}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查線面垂直、面面垂直的判定，考查點面距離的計算，考查體積的計算，屬于中檔題．