Question

2．如圖，已知長方形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M為DC的中點．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求證：AD⊥BM；
（2）若點E是線段DB上的一動點，問點E在何位置時，二面角E-AM-D的余弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）推導出BM⊥AM，從而BM⊥平面ADM，由此能證明AD⊥BM．
（2）以O為原點，OA為x軸，ON為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出E為BD的三等分點．

解答 證明：（1）∵長方形ABCD中，$AB=2\sqrt{2}$，$AD=\sqrt{2}$，M為DC的中點，
∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM，
∴BM⊥平面ADM，
∵AD?平面ADM，∴AD⊥BM．
（2）以O為原點，OA為x軸，ON為y軸，OD為z軸，
建立如圖所示的直角坐標系
設$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DB}$，則平面AMD的一個法向量$\overrightarrow n=（{0，1，0}）$，
$\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MD}+λ\overrightarrow{DB}$=（1-λ，2λ，1-λ），$\overrightarrow{AM}=（{-2，0，0}）$，
設平面AME的一個法向量$\overrightarrow m=（{x，y，z}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ME}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}2x=0\\ 2λy+（{1-λ}）z=0\end{array}\right.$
取y=1，得x=0，y=1，$z=\frac{2λ}{λ-1}$，∴$\overrightarrow m=（{0，1，\frac{2λ}{λ-1}}）$，
∵$|{cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞}|$=$\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．∴得$λ=\frac{1}{3}$或λ=-1，經(jīng)檢驗得$λ=\frac{1}{3}$滿足題意．
∴E為BD的三等分點．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查滿足條件的點位置的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎知識，考查推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．