Question

14．某年級(jí)舉辦團(tuán)知識(shí)競賽A、B、C、D四個(gè)班報(bào)名人數(shù)如下：

班別	A	B	C	D
人數(shù)	45	60	30	15

年級(jí)在報(bào)名的同學(xué)中按分層抽樣的方式抽取10名同學(xué)參加競賽，每位參加競賽的同學(xué)從10個(gè)關(guān)于團(tuán)知識(shí)的題目中隨機(jī)抽取4個(gè)作答，全部答對(duì)的同學(xué)獲得一份獎(jiǎng)品．
（I ）求各班參加競賽的人數(shù)：
（II） 若B班每位參加競賽的同學(xué)對(duì)每個(gè)題目答對(duì)的概率均為p，求B班恰好有2位同學(xué)獲得獎(jiǎng)品的概率；
（III） 若這10個(gè)題目，小張同學(xué)只有2個(gè)答不對(duì)，記小張答對(duì)的題目數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）

Answer 1

分析 （I ）根據(jù)分層抽樣原理計(jì)算A、B、C、D各班參加競賽的人數(shù)即可；
（II）由題意知B班每位參加競賽的同學(xué)得獎(jiǎng)品的概率，
根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)恰有k 次發(fā)生的概率計(jì)算公式求出概率值；
（III） 由題意知X的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，
寫出X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（I ）A班參加競賽的人數(shù)為$\frac{45}{150}$×10=3，
B班參加競賽的人數(shù)為$\frac{60}{150}$×10=4，
C班參加競賽的人數(shù)為$\frac{30}{150}$×10=2，
D班參加競賽的人數(shù)為$\frac{15}{150}$×10=1；
（II）根據(jù)題意，B班每位參加競賽的同學(xué)得獎(jiǎng)品的概率為
${C}_{4}^{4}$•p⁴=p⁴，
所以B班恰好有2位同學(xué)獲得獎(jiǎng)品的概率為
${C}_{4}^{2}$•（p⁴）²•（1-p⁴）²=6p⁸（1-p⁴）²；
（III） 由題意，X的可能取值為2，3，4，且X服從超幾何分布；
且P（X=2）=$\frac{{C}_{8}^{2}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{2}{15}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{8}^{3}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{8}^{4}{•C}_{2}^{0}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{1}{3}$，
所以X的分布列為；

X	2	3	4
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{3}$

數(shù)學(xué)期望為E（X）=2×$\frac{2}{15}$+3×$\frac{8}{15}$+4×$\frac{1}{3}$=$\frac{16}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，也考查了古典概型的概率計(jì)算問題，是綜合題．