Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的普通方程為x-y-2=0，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{3}cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動，當(dāng)△PAB的面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB的最大面積．

Answer 1

分析 曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，得A（0，-2），B（3，1），從而|AB|=3$\sqrt{2}$，△PAB的面積最大，即點(diǎn)P到直線l的距離d最大，設(shè)P（$2\sqrt{3}cosθ$，sinθ），則d=$\frac{|4cos（θ+\frac{π}{6}）-2|}{\sqrt{2}}$，當(dāng)cos（$θ+\frac{π}{6}$）=-1時，$ikg8wyw_{max}=\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，由此能求出當(dāng)△PAB的面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB的最大面積．

解答 解：∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{3}cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴A（0，-2），B（3，1），∴|AB|=$\sqrt{（0-3）^{2}+（-2-1）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
△PAB的面積最大，即點(diǎn)P到直線l的距離d最大，
設(shè)P（$2\sqrt{3}cosθ$，sinθ），則d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-2sinθ-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|4cos（θ+\frac{π}{6}）-2|}{\sqrt{2}}$，
當(dāng)cos（$θ+\frac{π}{6}$）=-1，即$θ=2kπ+\frac{5π}{6}$，k∈Z時，
$wuqasce_{max}=\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴△PAB的最大面積S=$\frac{1}{2}×AB×qkiic8o_{max}$=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×3\sqrt{2}$=9．
此時P（-3，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查三角形面積最大時對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)及最大面積的求法，考查圓上的點(diǎn)到直線的最大距離和最小距離的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．