Question

12．$\int_0^2{[{x^2}+\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}]dx=}$$\frac{8}{3}+\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 利用定積分的運(yùn)算性質(zhì)及定積分的幾何意義，分別求得${∫}_{0}^{2}$x²dx和${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$dx的值．

解答 解：由$\int_0^2{[{x^2}+\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}]dx=}$=${∫}_{0}^{2}$x²dx+${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$dx，
由${∫}_{0}^{2}$x²dx=$\frac{1}{3}$x³${丨}_{0}^{2}$=$\frac{8}{3}$，
由定積分的幾何意義可知：${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$dx表示以（1，0）為圓心以1為半徑的圓的一半，
則${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$dx=$\frac{π}{2}$，
$\int_0^2{[{x^2}+\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}]dx=}$=${∫}_{0}^{2}$x²dx+${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$dx=$\frac{8}{3}+\frac{π}{2}$，
故答案為：$\frac{8}{3}+\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查定積分的運(yùn)算，定積分的幾何意義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．