Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$+3lnax-x，g（x）=xe^x+cosx（a≠0）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若?x₁∈[1，2]，x₂∈[0，3]，使得f（$\begin{array}{l}{x_1}\end{array}$）＞g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）在[1，2]上的最大值大于g（x）在[0，3]的最小值，分別求出其最大值和最小值得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）依題知，a＞0時(shí)，x＞0；a＜0時(shí)，x＜0，
∵$f'（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{3a}{ax}-1=-\frac{{{x^2}-3x+2}}{x^2}$，
令f'（x）＞0，解得1＜x＜2；令f'（x）＜0，解得x＜1，或x＞2，
故當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（1，2）上為增函數(shù)，在（0，1）、（2，+∞）上為減函數(shù)；
a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)．…（6分）
（Ⅱ）?x₁∈[1，2]，x₂∈[0，3]，
使得f（x₁）＞g（x₂）成立，
?f（x）在[1，2]上的最大值大于g（x）在[0，3]的最小值，
由（Ⅰ）知，a＞0，且f（x）_max=f（2）=3ln2a-1，
又g'（x）=e^x+xe^x-sinx＞0在[0，3]恒成立，即g（x）在[0，3]上單調(diào)遞增，
有g(shù)（x）_min=g（0）=1，
故依題得3ln2a-1＞1，
解得：$a＞\frac{1}{2}{e^{\frac{2}{3}}}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題、分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．