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【題目】函數（，是自然對數的底數，）存在唯一的零點，則實數的取值范圍為（　　）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

函數（，是自然對數的底數，）存在唯一的零點等價于函數 與函數只有唯一一個交點，由于，，可知與的交點為，分別研究與的單調，根據單調得到與的大致圖像，從圖形上可得要使函數 與函數只有唯一一個交點，則， 即可解得實數的取值范圍。

函數（，是自然對數的底數，）存在唯一的零點等價于函數 與函數只有唯一一個交點，

，，

函數 與函數唯一交點為，

又 ，且， ，

在上恒小于零，即在為單調遞減函數，

又 是最小正周期為2，最大值為的正弦函數，

可得函數 與函數的大致圖像如圖：

要使函數 與函數只有唯一一個交點，則，

，，

即 ，解得，

又

所以實數的范圍為。

故答案選A

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