8．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c．已知a=2acosAcosB-2bsin2A．
（1）求C；
（2）若△ABC的面積為$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$，周長為 15，求c．

分析 （1）a=2acosAcosB-2bsin2A，利用正弦定理，即可求C；
（2）由△ABC的面積為$\frac{15\sqrt{3}}{4}$得ab=15，由余弦定理得a2+b2+ab=c2，又c=15-（a+b），即可求c．

解答 解：（1）由正弦定理可得
sinA=2sinAcosAcosB-2sinBsin2A…（2分）
=2sinA（cosAcosB-sinBsinA）=2sinAcos（A+B）=-2sinAcosC．
所以cosC=-$\frac{1}{2}$，故C=$\frac{2π}{3}$．…（6分）
（2）由△ABC的面積為$\frac{15\sqrt{3}}{4}$得ab=15，…（8分）
由余弦定理得a2+b2+ab=c2，又c=15-（a+b），
解得c=7．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦、余弦定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．

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