Question

20．在△ABC中，已知邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，若2sin²B+3sin²C=2sinAsinBsinC+sin²A，則tanA=-1．

Answer 1

分析 由正弦定理，得：2b²+3c²=2bcsinA+a²，由余弦定理得sinA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}+^{2}+2{c}^{2}}{2bc}$=$cosA+\frac{2c}+\frac{c}$，從而$\sqrt{2}sin（A-\frac{π}{4}）$=$\frac{2c}+\frac{c}$≥$2\sqrt{\frac{2c}•\frac{c}}$=$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)sin（A-$\frac{π}{4}$）=1時，成立，進(jìn)而求出A=$\frac{3π}{4}$，由此能求出tanA．

解答 解：由正弦定理，得：2b²+3c²=2bcsinA+a²，
∴sinA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}+^{2}+2{c}^{2}}{2bc}$
=$cosA+\frac{2c}+\frac{c}$，
∴sinA-cosA=$\frac{2c}+\frac{c}$，
∴$\sqrt{2}sin（A-\frac{π}{4}）$=$\frac{2c}+\frac{c}$≥$2\sqrt{\frac{2c}•\frac{c}}$=$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)sin（A-$\frac{π}{4}$）=1時，等號成立，
∵A∈（0，π），∴A-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），∴A=$\frac{3π}{4}$，
∴tanA=tan$\frac{3π}{4}$=-1．
故答案為：-1．

點評 本題考查三角形內(nèi)角的正切值的求法，考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．