Question

2．2015年4月25日14時(shí)11分在尼泊爾（北緯28.2度，東經(jīng)84.7度）發(fā)生8.1級地震，中國政府迅速派出一支救援隊(duì)，救援隊(duì)到達(dá)地震災(zāi)區(qū)后，根據(jù)災(zāi)區(qū)的實(shí)際情況，確定了1號，2號，3號，4號四個(gè)救援區(qū)域，并在每個(gè)救援區(qū)域設(shè)立了兩個(gè)搜救點(diǎn)．
（1）若指揮中心對四個(gè)救援區(qū)域的8個(gè)搜救點(diǎn)隨機(jī)抽取4個(gè)進(jìn)行檢測（每個(gè)搜救點(diǎn)被抽到的可能性相同），求這4個(gè)被抽取的搜救點(diǎn)來自四個(gè)救援區(qū)域的概率；
（2）若已知救援隊(duì)對2號、3號、4號救援區(qū)域能檢測出生命跡象的概率分別為$\frac{3}{5}$、$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{6}$，各救援區(qū)檢測相互獨(dú)立，指揮中心從2號、3號、4號三個(gè)救援區(qū)域的搜救點(diǎn)各抽取一個(gè)救援點(diǎn)進(jìn)行生命檢測，求能檢測出有生命跡象的搜救點(diǎn)的個(gè)數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件總數(shù)n=${C}_{8}^{4}$，再求出這4個(gè)被抽取的搜救點(diǎn)來自四個(gè)救援區(qū)域包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}$，由此能求出這4個(gè)被抽取的搜救點(diǎn)來自四個(gè)救援區(qū)域的概率．
（2）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）指揮中心對四個(gè)救援區(qū)域的8個(gè)搜救點(diǎn)隨機(jī)抽取4個(gè)進(jìn)行檢測（每個(gè)搜救點(diǎn)被抽到的可能性相同），
基本事件總數(shù)n=${C}_{8}^{4}$=70，
這4個(gè)被抽取的搜救點(diǎn)來自四個(gè)救援區(qū)域包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}$=8，
∴這4個(gè)被抽取的搜救點(diǎn)來自四個(gè)救援區(qū)域的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{8}{70}$=$\frac{4}{35}$．
（2）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=（1-$\frac{3}{5}$）（1-$\frac{1}{6}$）（1-$\frac{1}{6}$）=$\frac{5}{18}$，
P（X=1）=$\frac{3}{5}×（1-\frac{1}{6}）×（1-\frac{1}{6}）$+$（1-\frac{3}{5}）×\frac{1}{6}×（1-\frac{1}{6}）$+$（1-\frac{3}{5}）×（1-\frac{1}{6}）×（1-\frac{1}{6}）$=$\frac{19}{36}$，
P（X=2）=$\frac{3}{5}×\frac{1}{6}×（1-\frac{1}{6}）$+$\frac{3}{5}×（1-\frac{1}{6}）×\frac{1}{6}$+$（1-\frac{3}{5}）×\frac{1}{6}×\frac{1}{6}$=$\frac{8}{45}$，
P（X=3）=$\frac{3}{5}×\frac{1}{6}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{60}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{18}$	$\frac{19}{36}$	$\frac{8}{45}$	$\frac{1}{60}$

E（X）=$0×\frac{5}{18}+1×\frac{19}{36}+2×\frac{8}{45}+3×\frac{1}{60}$=$\frac{14}{15}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．