Question

20．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|．
（1）求不等式f（x）≤4的解集；
（2）若關于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；（2）根據(jù)絕對值不等式的性質求出f（x）的最小值，得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）x≥$\frac{3}{2}$時，2x-1+2x-3≤4，解得：x≤2，
$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$時，2x-1+3-2x=2≤4成立，
x≤$\frac{1}{2}$時，1-2x+3-2x≤4，解得：x≥0，
綜上，不等式的解集是[0，2]；
（2）∵|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-（2x-3）|=2，
當且僅當（2x-1）（2x-3）≤0即$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$時“=“成立，
故|a-1|＞2，解得：a＜-1或a＞3．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．