Question

1．如圖，四邊形ABCD為菱形，將△CBD沿BD翻折到△EBD的位置．
（1）求證：直線BD⊥平面ACE；
（2）若二面角E-BD-C的大小為60°，∠DBE=60°，求直線CE與平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)EO，推導(dǎo)出EO⊥BD，CO⊥BD，由此能證明BD⊥平面ACE．
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，過(guò)O作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線CE與平面ABE所成角的正弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)EO，
∵四邊形ABCD為菱形，∴EO⊥BD，CO⊥BD，
∵EO∩CO=O，EO，CO?平面ACE，
∴BD⊥平面ACE．
解：（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，過(guò)O作平面ABCD的垂線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=2，則C（0，$\sqrt{3}$，0），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），A（0，-$\sqrt{3}$，0），B（1，0，0），
$\overrightarrow{CE}$=（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{BA}$=（-1，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BE}$=（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
設(shè)平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=-x-\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，-$\sqrt{3}$），
設(shè)直線CE與平面ABE所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}•\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴直線CE與平面ABE所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．